ЯВНО-НЕЯВНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ

При приближенном решении краевых задач для нестационарных уравнений безусловно устойчивые схемы строятся на основе неявных аппроксимаций по времени. Вычислительная реализация таких схем для параболических и гиперболических задач связана с необходимостью решения сеточных эллиптических задач. В вычислительном плане явные схемы имеют несомненные преимущества перед неявными. Это достоинство имеет важное значение при построении вычислительных алгоритмов, которые ориентированы на вычислительные системы параллельной архитектуры. Основной недостаток явных схем связан с жесткими ограничениями на допустимый шаг по времени. Явно-неявные аппроксимации по времени ориентированы на сохранение достоинств как явных схем (вычислительная реализация), так и неявных схем (абсолютная устойчивость). 

Большой интерес имеют явные схемы, вычисления в который организованы по принципу бегущего счета. Такие схемы фактически основаны на расщеплении оператора задачи на два оператора и вынесении на новый временной слой только одного оператора. С учетом такой неоднородной аппроксимации по времени говорят о явно-неявных схемах. В отличии от стандартных явных схем такие схемы являются безусловно устойчивыми, но имеют худшие свойства по аппроксимации. Современный этап теории и практики явно-неявных схем связывается со схемами попеременно-треугольного метода А.А. Самарского. Классические схемы попеременно-треугольного метода строятся как факторизованные операторно-разностные схемы с аддитивным расщеплением оператора задачи (матрицы) на сопряженные друг другу слагаемые.

Предложены многослойные модификации попеременно-треугольного метода. Повышение точности достигается за счет корректирующего слагаемого с производной по времени, которое берется с предыдущего временного слоя. Погрешность удается уменьшить на порядок по шагу по времени. Схемы попеременно-треугольного метода традиционно строятся для эволюционных уравнений первого порядка, например, для начально-краевых задач для параболических уравнений. Такие схемы расщепления представляют также интерес для многих прикладных проблем, которые связываются с эволюционными уравнениями второго порядка. Рассмотрены факторизованные схемы классического варианта попеременно-треугольного метода для эволюционного уравнения второго порядка. Построение новых схем расщепления базируется на использовании принципа регуляризации операторно-разностных схем классического попеременно-треугольного метода. Рассмотрены задачи со многими операторными слагаемыми, задачи для эволюционных уравнений второго порядка с операторными слагаемыми для первой производной по времени. Методической основой рассмотрения является общая теории устойчивости (корректности) операторно-разностных схем.

Задачи конвекции-диффузии являются типичными для математических моделей механики жидкости и газа. При решении задач конвекции-диффузии естественно ориентироваться на разностные схемы, в которых часть оператора задачи берется с предыдущего временного слоя. Рассмотрены двухслойные явно-неявные схемы, когда главная часть оператора задачи, которая связана с диффузионным переносом, берется с верхнего слоя по времени, а подчиненная (конвективный перенос) берется с нижнего слоя. Такие явно-неявные схемы относятся к классу безусловно устойчивых схем. Их вычислительная реализация базируется на решении задачи с самосопряженным сеточным эллиптическим оператором на каждом временном слое. Предложены многослойные модификации попеременно-треугольного метода для нестационарных задач конвекции-диффузии. Для повышения точности схем попеременно-треугольного метода добавляется корректирующее слагаемое с производной по времени, которое берется с предыдущего временного слоя.

Многие исследуемые явления и объекты характеризуются многомасштабностью протекающих процессов. Для учета этих факторов строятся специальные прикладные математические модели. При рассмотрении динамических процессов принципиальной является многомасштабность по времени, когда процессы идут с различной скоростью. Разномасштабность по времени при описании динамических процессов учитывается выделением быстрых и медленных слагаемых в нестационарных уравнениях. Строятся специальные разностные схемы, учитывающие особенности поведения решения. Естественный методологический прием состоит в том, чтобы быстрые процессы рассчитывать с использованием более подробных сеток по времени. Применительно к широкому кругу многомасштабных задач такой подход известен как гетерогенный многомасштабный метод.

Предложены явно-неявные неоднородные аппроксимации по времени для задач с быстрыми и медленными составляющими решения на основе схем расщепления. Гетерогенные схемы наиболее естественно связываются со схемами покомпонентного расщепления, когда оператор задачи, описывающий быстрые процессы, расщепляется на сумму однотипных операторов. Такие схемы расщепления относятся к классу схем суммарной аппроксимации. Схемы полной аппроксимации строятся на основе использования векторных аддитивных схем.

Рассмотрены схемы декомпозиции области для приближенного решения нестационарных задач для уравнений с частными производными. Наиболее полно специфика нестационарных задач учитывается при использовании безитерационных алгоритмов декомпозиции области. Такие схемы декомпозиции области — регионально-аддитивные схемы — связаны с различными вариантами аддитивных схем (схем расщепления). Для многомерных краевых задач можно использовать методы декомпозиции области с наложением или без наложения подобластей. Методы без наложения подобластей связаны с явной формулировкой обменных условий на границах подобластей.

Построены различные классы регионально-аддитивных схем для нестационарных задач математической физики. Исследование сходимости таких схем проводится на основе общей теории схем расщепления. Схемы декомпозиции области основаны на использовании явно-неявных аппроксимациях по времени с выделением обменных граничных условий, с выделением подобластей налегания.

© лаборатория численного моделирования термомеханических процессов