Русский / English 
?php echo $word_institute;?>
ИНСТИТУТИССЛЕДОВАНИЯПРОЕКТЫНАУКА И ОБРАЗОВАНИЕНОВОСТИКОНТАКТЫ
 
Исследования » Методы математического моделирования » Схема CABARET и ее применение для решения задач вычислительной гидродинамики с доминирующим сеточным переносом

СХЕМА CABARET И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ С ДОМИНИРУЮЩИМ СЕТОЧНЫМ ПЕРЕНОСОМ


 ПРОБЛЕМАТИКА ИССЛЕДОВАНИЙ

Производительность современной вычислительной техники растет очень быстрыми темпами. Достижение петафлопсного уровня производительности суперкомпьютеров позволяет подойти к решению задач с критическим порогом точности, обусловленным многомасштабностью и мультифизичностью реальных процессов. Прежде всего, речь идет о процессах турбулентности, которые характеризуются наличием большого количества масштабов. Однако прежние методы расчетов и численные алгоритмы едва ли применимы для расчетов на современных суперкомпьютерах. Сегодня требуются совершенно новые подходы.

Одной из фундаментальных проблем пост-петафлопсной вычислительной математики является проблема сеточного переноса. Сеточный перенос — это ключевой элемент предсказательного математического моделирования таких гидродинамических явлений, как турбулентные течения при больших числах Рейнольдса в элементах энергетических установок, когерентные вихревые структуры в атмосфере и океанах, генерация звука турбулентными струями в задачах аэроакустики. Задача ставится следующим образом: имеется некая обобщенная система уравнений гидродинамики, точнее, система для обобщенной гидродинамики. В левой части стоит некий гиперболический оператор, в правой — эллиптический с малым параметром. Такая система описывает очень большое количество процессов, в числе которых уравнения Навье-Стокса, уравнения газовой динамики, магнитной гидродинамики, переноса нейтронных излучений и так далее. Гиперболичность левой части означает, что в течение некоторого периода времени до тех пор, пока характеристики одного семейства не пересекаются, решение является обратимым по времени. При разработке соответствующих численных алгоритмов требуется, чтобы обратимость сохранялась и на уровне этих алгоритмов.

Задачи с доминирующим сеточным переносом.

В 1998 г. в ИБРАЭ РАН была разработана новая разностная схема «Кабаре» (CABARET) для численного решения ключевого, с точки зрения вычислительной гидродинамики, уравнения — простейшего уравнения переноса. В процессе доработки и ряда последовательных обобщений схемы появилась возможность ее применения к таким сложным задачам, как решение многомерных уравнений адвекции-диффузии с доминирующей адвекцией (сеточным переносом) и систем законов сохранения гиперболического типа, моделирование двумерных газодинамических течений в ортогональных координатах и двумерных несжимаемых течений, описываемых уравнениями Навье—Стокса в (P, u, v) и в (w, y), (w, u, v) переменных, обобщение на четырехугольные косоугольные сетки и неструктурированные гексагональные косоугольные сетки.

Схема CABARET обладает свойством временной обратимости. Вследствие этого амплитудные ошибки алгоритма отсутствуют, каждая из гармоник не затухает и не возрастает.

Преимущества схемы иллюстрирует рисунок, на котором представлены характеристики ряда численных методов решения простейшего уравнения переноса.

Эволюция дисперсионных свойств численных методов решения простейшего уравнения переноса.

Классическая схема Лакса-Вендрофа характеризуется большой неравномерностью диссипативной и дисперсионной поверхностей. Более точная схема «крест» отличается малой диссипацией, но значительной дисперсией. В оптимизированной же схеме CABARET диссипативные потери полностью отсутствуют, а погрешности, обусловленные дисперсией, весьма малы практически на всем интервале волновых чисел, доступных на данной волновой сетке.

На первый взгляд, отличие не такое уж и большое, но с вычислительной точки зрения оно дает колоссальное преимущество. Расчетным путем было установлено, что схема обеспечивает постоянство амплитуд двумерных вихрей с неподвижной осью, причем как для сжимаемой, так и для несжимаемой жидкости. По своему значению это свойство в вычислительной математике сравнимо с явлением сверхпроводимости в электротехнике. Это позволяет использовать схему CABARET в расчетах вихревых и турбулентных течений при больших числах Рейнольдса как в приближении крупных вихрей без явного использования подсеточных моделей турбулентности (LES), так и в рамках прямого моделирования турбулентности при детальном разрешении колмогоровского масштаба (DNS-приближения) без каких либо настроечных параметров.

а)  б) 

Прямое численное моделирование затухания однородной изотропной турбулентности.
а) двумерный спектр с форсингом («–5/3» + «–4»);  б) скорость диссипации, сравнение с
DNS.

 

Вычислительный шаблон схемы CABARET является предельно компактным, умещающимся в одну пространственно–временную расчетную ячейку. Это позволяет очень просто задавать граничные условия в сложных расчетных областях и обеспечивать максимальную вычислительную эффективность распараллеливания при проведении масштабных параллельных вычислений на многопроцессорных вычислительных комплексах.

ПРИМЕРЫ ПРАКТИЧЕСКОГО ПРИМЕНЕНИЯ схемы CABARET

Моделирование турбулентного пограничного слоя между двумя пластинами

Это классическая и очень важная задача, ее решением в мире занимаются в течение более чем 30 лет, и сегодня за счет применения методов прямого численного моделирования достигнуты такие успехи, что результаты расчетов используется для юстировки аппаратуры при измерениях.

 Прямое численное моделирование пристенной турбулентности.

Расчеты, выполненные по схеме CABARET, лежат в области чисел Рейнольдса Rem = 5600, 13760, 21900 и могут быть сопоставлены с расчетами зарубежных авторов, выполненными с использованием так называемых спектральных методов решения, которые с большим трудом обобщаются на более сложные геометрические области. Наш метод оказался в этом смысле лучше и легко обобщается на сложные геометрические области. 

Моделирование генерации звука турбулентной струей

Схема «Кабаре» обладает универсальностью в применении и может быть использована для расчета как газодинамических, так и гидродинамических течений, в частности, при решении задач аэроакустики.

Моделирование генерации звука турбулентной струей на выходе из соплав европейском эксперименте Jet Exhaust Aerodynamics and Noise (JEAN).
Мгновенные поля акустического давления и завихренности. М = 0,75; Re = 106.

 Моделирование смешения потоков жидкости в Т-образном соединении

На рисунке представлен результат моделирования типичной для «атомной» проблематики тестовой задачи — проводившегося в 2011 г. так называемого «слепого» теста по смешению двух потоков жидкости. ИБРАЭ РАН, участвуя в целом ряде международных «слепых» тестов, неизменно занимает в них высокие места.

«Слепой» тест по моделированию смешения двух потоков жидкости в Т-образном соединении.

Моделирование течений жидкометаллического теплоносителя в ТВС ядерного реактора

Ниже представлен пример использования схемы CABARET при решении практической задачи по моделированию смешения потоков жидкометаллического теплоносителя (натрия) в тепловыделяющей сборке (ТВС) ядерного реактора. Потоки теплоносителя вытекают из зазоров между твэлами. Один из этих зазоров несколько засорен, поэтому течение неоднородно и требуется вычислить пульсации и скорости и температуры в некоторых сечениях.

 Задача о смешении разнотемпературных струй жидкого натрия в тепловыделяющей сборке.

 

Распределение скорости потока при больших числах Рейнольдса во фрагменте теплообменника со свинцово-висмутовым теплоносителем в проектируемом реакторе СВБР-100.

  Расчет коллективного поведения мезомасштабных вихревых структур, влияющих на крупномасштабную изменчивость в океане

CABARET

Схема Аракавы

Снимок со спутника

   

Сетка 257х257

Сетка 1025х1025

 

Моделирование мезомасштабных океанических течений. Мгновенные распределения полей завихренности потенциала. Расчет по схеме CABARET на сетке 257×257 (слева), расчет методом Аракавы 2-го порядка на сетке 1025×1025 (в центре), спутниковый снимок океанического течения Гольфстрим (справа).

 Демонстрация эффекта временной обратимости

 

   

 

Надпись, помещенная в квадратике, закручивается в поле скоростей, которое соответствует квазитвердому вращению и описывается линейным уравнением переноса. Запуская этот процесс в обратном направлении, мы вновь получаем исходную картинку. Это эффектная иллюстрация того, что разработанная в ИБРАЭ РАН схема CABARET относится к классу обратимых по времени вычислительных алгоритмов, открывающих возможности решения актуальных задач по моделированию гидродинамических процессов, в том числе в ядерных реакторах.

 

Выводы

В нижеприведенных тезисах отображена базовая концепция разработки схемы CABARET:

  • достижение петафлопсного уровня производительности суперкомпьютеров выводит на задачи с критическим порогом точности, обусловленным многомасштабностью и мультифизичностью реальных процессов;
  • фундаментальной проблемой пост-петафлопсной математики является проблема сеточного переноса, ключа к предсказательному моделированию турбулентных течений;
  • решение проблемы сеточного переноса возможно при переходе к обратимым по времени вычислительным алгоритмам для квазилинейных систем законов сохранения гиперболического типа;
  • существует обширный класс обратимых по времени вычислительных алгоритмов для сеточного переноса, на которых возможна глубокая оптимизация дисперсионных свойств;
  • схема CABARET является первым представителем этой новой вычислительной технологии; следует ожидать появления и других прецизионных алгоритмов.

ИБРАЭ РАН © 2013 Карта сайта | Связаться с нами